前言：寻找写作灵感？中文期刊网用心挑选的关于动态规划方法的最优消费路径，希望能为您的阅读和创作带来灵感，欢迎大家阅读并分享。
有些学者从微观经济理论的角度探索消费和投资的最优比率。例如，Phelps构建了不确定收入下的最优消费率［2］。基于这一模型，Merton以布朗运动模拟不确定收益，利用动态规划建模的方式，求出在连续时间假设下获得最大消费效用的消费和资产投资组合［3］。然而Merton的模型采用了Pratt的绝对风险厌恶度（absolute risk aversion）［4］，即假设投资者的风险偏好是和年龄、财富无关的常数，从而把家庭总财富比率设计成常数。为了改进过于严格的常系数风险厌恶假设，Farhi和Pan－ageas假设投资者可以通过控制退休时间来调整劳动供给，从而实现最优消费和投资［5］。另外有些学者拓展了Merton等人的模型，如Hakansson和Richard研究了存在保险时的生命周期最优消费［6］［7］；Karatzas使用鞅方法研究了个人如何选择消费率来实现消费和财富效用最大化［8］；Bodie等人探讨了退休期间的最优消费投资问题［9］。有些学者则从宏观经济学的角度阐述消费和投资对消费效用最大化的影响。李嘉图的古典消费理论强调了消费对经济的刺激。凯恩斯绝对收入假说认为消费主要取决于当期绝对收入，平均消费倾向（APC）随收入增加而减少。按此假说，一战后，美国人民收入增加，储蓄应随之增加。但是，Kuznets实证研究发现战后储蓄并未增加，长期APC稳定［10］。为解析上述矛盾现象，Duesenberry提出相对收入假说，家庭会比较其他家庭的收入，即相对水平，来决定自己的消费水平［11］（P3）。相对收入假说的缺陷在于家庭的消费是短视行为，没有考虑未来收入。为克服相对收入假说存在的问题，Friedman提出了家庭将根据终生收入来决定消费的持久收入假说［12］（P26－135）。内生增长理论被广泛用于分析投资和消费的最优分配。该理论假设在生产过程中的规模收益不变，即凸性生产技术，经济增长的决定因素是生产要素，生产率是由模型内生所决定的，而不是由资源、人口等外部因素决定。典型的内生增长模型有AK模型、Rebelo模型等［13］。
曾经有人质疑AK模型是否可以用来评估经济增长。Jones建立了技术为常数的AK模型，对函数关于物质资本和人力资本求最大值，并基于1950～1988年加拿大、法国、德国等15个OECD国家的时间序列数据，研究发现战后投资额同经济增长无关，并由此推断AK模型对投资和经济增长关系的预测是短期的或不正确的［14］。为了反驳AK模型不适用于研究经济增长的结论，McGrattan建立了技术为常数的AK模型，对函数关于消费和资本求最大值。McGrattan用1870～1989年11个国家的数据验证了投资率和经济增长之间的正相关关系，证明政府投资诱导政策会永久性影响经济增长［15］。McGrat－tan发现Jones之所以用AK模型测不出投资和经济增长的相关性，一是数据期限短，二是模型设计存在缺陷。McGrattan的模型假设如下：（1）代表性家庭选择投资和消费，从而实现生命周期效用最大化；（2）家庭有两种资本，分别是结构资本和设备资本，家庭收入来源于把结构资本和设备资本租给公司的租金；（3）家庭收入要向政府缴纳税收，因此政府政策可以影响投资产出比和劳动闲暇选择。这样一来，McGrattan就解释了Jones观察到的投资增加而产出稳定的短期离差，并从理论和实证角度验证了AK模型的有效性。本文在持久收入假设和内生增长理论框架下，研究经济增长的最优消费投资比率，从理论上指导国民收入的合理分配。之所以选择资本产出弹性为单位弹性的AK模型，是因为资本对发展中国家很重要。发展中国家可以通过购买技术先进的国家的设备得到知识，这种由投资带来的技术溢出可以加速整个国家的现代化。另外，由于行业间存在溢出效应，当资本提高某个行业的生产率时，与之相关行业的生产率也随之提高［16］，所以不仅要考虑资本对单个行业的作用，还需要考虑资本的社会回报。Ljungqvist和Sargent建立的AK模型与本文有类似的目标函数yt＝Akαt，也猜测了相同的值函数形式，并得到了类似的策略函数［17］，但本文与之不同的是：第一，他们假设资本产出弹性大于零而小于1（0＜α＜1），从而使资本边际效用递减，通过数学推导发现资本收敛，而本文假设资本产出弹性等于1（α＝1），从而使资本没有边际效用递减，通过数学推导发现资本不收敛，而值函数收敛；第二，本文考虑了资本折旧；第三，本文通过真实数据，再现改革开放以来消费和投资对提高社会效用的贡献。本文余下部分的结构安排如下：第二部分建立包含资本折旧率和贴现因子的最优消费模型，通过猜解求出策略函数，讨论了消费、资本积累序列的意义，并通过求导分析了各变量对值函数的影响；第三部分比较了不同贴现因子下的值函数，并用三维效果图展示了1978～2010年中国消费、资本和值函数的演变关系；最后是本文的结论。
模型
本文考虑生产单一商品的经济，此商品既可消费又可投资，投资以资本的形式体现，消费品和资本品可以相互转换。消费数量和消费投资比决定代表性行为人的效用，社会计划者的目标是通过政策引导消费路径，使代表性行为人在任意时期都能获得最大效用。经济增长由资本驱动，因此设生产函数为yt＝Akt，其中A反映技术水平，yt、kt和ct分别表示在时期t的生产量、资本存量和消费。对于任意t期，有ct≥0，kt≥0；且初始资本k0已知。由此，可得模型：max∑!t＝0βtln c（t）s．t．kt＋1＝yt＋1－（δ）kt－ct， yt＝Ak烅烄烆t（1）其中δ为资本折旧率，0≤δ≤1；β为贴现因子，0＜β＜1；βtln c（t）是消费效用。式（1）是终生消费效用，资本积累规则为下期资本的数量取决于本期的有效商品总供给和本期的消费。令f k（t）＝Akt＋1－（δ）kt＝（A＋1－δ）kt表示包含资本折旧的有效商品总供给，则式（1）可转化为：max∑!t＝0βtln c（t）s．t．kt＋1＝f （kt）－ct，f （kt）＝（A＋1－δ）k烅烄烆t（2）式（2）目标函数的含义是代表性行为人追求一生消费的贴现效用最大化，其中消费ct是控制变量，资本kt为状态变量。由约束条件kt＋1＝f （kt）－ct，可得ct＝f （kt）－kt＋1，即控制变量可表示为状态变量的函数。求式（2）的最优解，就是在给定约束条件下，找到一个恰当的序列ct，k｛t＋1｝!t＝0，使目标函数∑!t＝0βtln （ct）取得最大值。（一）猜解求值函数和策略函数为方便求极值，将式（2）由离散形式转化为连续形式，并定义值函数（）V k为投资者在给定财富下所能达到的期望终生总效用。在竞争性均衡中投资者的效用得到了最大化，则根据汉密尔顿－雅可比－贝尔曼方程（Hamilton－Jacobi－Bellman equation，HJBE）可得：（）V k＝maxk＇（）ln ［f k－k］＇＋β｛V （k）｝＇（）＝ln ［f k－g（k）］＋βV ［g（k）］（3）式（3）中，k是当前时期的资本存量（相当于kt），k＇是下一时期的资本存量（相当于kt＋1）。g（k）是利用HJBE进行递归迭代的策略函数，且g（k）＝k＇，表示计划者面临的决策为：究竟是应该用政策引导代表性行为人当期多消费一些，还是当期少消费，留作下一期的资本，从而使下一期能消费更多。（）V k和g（k）都是连续可微的。根据动态规划理论，可猜测值函数的形式为：（）（）V k＝E＋Fln k（4）其中，E、F是待定常数。对式（3）和（4）计算一阶最优的必要条件，并根据式（2）可得：g（k）＝k＇＝βF A＋1－（δ）k1＋βF（5）（）c＝f k－k＇＝A＋1－（δ）k1＋βF（6）式（5）是策略函数g（k）关于k的显式解，F是待定系数。（二）最优消费、资本累积序列令n＝1，式（3）变成式（7）。由式（2）可知当t＝1时，以下两式成立：V1（）k＝maxk＇（）ln f k－k［］＇（7）V1（）k＝maxk＇（）ln f k－k［］＇＋βV0k（）＇（8）式（7）是目标函数（2）的最大值，即社会计划者最优问题中的值函数；式（8）表示代表性行为人一生的效用贴现值等于当期效用、未来效用的贴现值之和。当期消费和期末资本的选择c，k｛｝＇产生了当期效用ln（c），下期的资本k＇将按照策略函数g（k）来选择。此处可获得的最大期望效用是V k（）＇，而k＇的贴现值为βV0k（）＇。类似的，利用式（5）、式（3）逐期递归迭代可得到值函数Vn（）k序列。对任意t期，有：Vn（）k＝∑n－1i＝1（β）i－1 lnA＋1－δ1＋β（）F＋βn－1ln （A＋1－δ）＋ ∑n－1j＝1j（β）j lnβF A＋1－（δ）1＋β［］F＋∑ns＝1（β）s－1（）ln k由于0＜β＜1，根据级数理论容易证明：当n→!时，Vn（）k是收敛的，且其极限值（）V k＝limn→!Vn（）k就是无穷序列的唯一解。也就是说，得到的函数方程与式（4）的猜测完全符合。可以解出E＝11－βln （1－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］，F＝11－β。将E和F代入式（4）可得到函数方程（3）的具体表达式和相应的策略函数：（）V k＝11－βln （1－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］＋11－β（）ln k（9）g（k）＝βA＋1－（δ）k（10）式（9）也就是式（1）的解。对于任意给定的k0＞0，值函数（）V k采用策略k＇＝g（k）＝βA＋1－（δ）k恒可取得最优值。回到式（1）的离散形式，对任意时期t（t≥0），当资本存量按策略kt＋1＝βA＋1－（δ）kt逐步演变时，式（1）必定取得最优解。相应地，ct＝1－（β）A＋1－（δ）kt。综上所述，可得式（1）的最优消费、资本累积序列ct，k｛t＋1｝!t＝0为：ct＝1－（β）A＋1－（δ）ktkt＋1＝βA＋1－（δ）k烅烄烆t（11）从式（11）可以看出：资本折旧率δ和当期消费ct以及下期资本kt＋1负相关。资本折旧率反映了资本的使用成本，折旧率越大，资本越少，收入越少，可供消费也越少。对资本的良好维护，可以降低资本折旧率。宏观政策能改变折旧率，比如政府推出投资刺激政策，会使维护既有资本的成本高于重新投资，从而提高资本折旧率；再如，高利率增加贷款成本，导致生产者更倾向于用廉价原材料，产品耐用度降低，资本折旧率提高。贴现因子β和当期消费ct负相关，和下期资本kt＋1正相关。贴现因子反映了资产预期总收入超出当期总收入的部分折现到当期末的值。贴现因子越小，代表性行为人越倾向于当期消费ct；贴现因子越大，代表性行为人越希望把消费推迟到将来。贴现因子是随机的、主观的，受真实的经济发展变化的影响，可以通过宏观经济政策引导贴现因子变化。比如福利保障制度可以提高当期消费者的信心，而提高利率会导致人们推迟当期消费。α＝1时，AK模型y＝Akαt的资本增长率kt＋1kt＝βA＋1－（δ）更大，而且资本不收敛。0＜α＜1时［1 7］，AK模型y＝Akαt的资本增长率kt＋1kt＝αβAkα－1t更小，而且资本收敛。另外，根据方程（1）最优解的一阶必要条件可以断定，当且仅当ct＋kt＋1＝Dkγt（D为常数，γ是大于零的任意实数）的形式时，即ct＋kt＋1必须与kγt成正比关系，AK模型才可能求出显式的最优解。其他学者在研究包含资本折旧的AK模型时，要么生产函数是线性的（即y＝Ak），而资本折旧是非线性的；要么生产函数是指数形式的（即y＝Akα），但资本折旧是线性的；或者假设劳动是弹性供应的（即y＝Akαn1－α）。诸如此类模型，它们所对应的消费、资本累积之和ct＋kt＋1必定不能表示为kγt（其中γ＞0）的正相关函数，因此无论采用序列推导法或贝尔曼动态规划的解法或其他方法，都不可能得到最优解的显式解析表达式，他们一般采用数值解法求解最优的消费和资本积累路径。（三）变量对值函数的影响前文定义值函数（）V k为投资者在给定财富下，所能达到的终身期望总效用，以下讨论贴现因子β、资本折旧率δ、消费c、资本存量k对值函数（）V k的影响。为方便讨论参数β、δ、k的意义，将V（k）记为V（β，δ，k），即：Vβ，δ，（）k＝11－βln （1－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］＋11－β（）ln k（12）由式（12）可以发现：1．可以证明?Vβ，δ，（）k?β＞0对于β0≤β（≤1）恒成立，所以Vβ，δ，（）k是β的单调增函数，即值函数（）V k随着贴现因子β的增大而增大。而由式（1）也易知，贴现因子β越大，消费的效用就越大。2．由?Vβ，δ，（）k?δ＜0可知，值函数Vβ，δ，（）k随着资本折旧率δ的增加而减小，也就是说，资本折旧率越高，消费总效用就越小。关于宏观经济政策对资本折旧率和贴现率的影响，可参考公式（11）对最优消费、资本累积序列的分析。3．由?Vβ，δ，（）k?k＞0可知，值函数Vβ，δ，（）k随着资本存量k的增加而增加。资本存量k越大，可用于生产的投资就越多，从而可供未来消费的也就越多（即消费c越大），因此终生消费的总效用值就越大。另外，根据式（1）的假设，消费越大，消费效用也就越大，但是由于所有的生产恰好被消费与投资全部划分，即ct＋kt＋1＝const是常数，若t期的消费占收入比率过大，则可用于下期的资本就少，下期消费也减少，所以应该合理地安排消费－投资比率。政府可以用贴现因子、折旧率和技术进步率等政策引导消费－投资比率。#p#分页标题#e#
实证
实验数据包括中国1978～2010年的名义GDP、资本产出比率、折旧率、投资平减指数、GDP平减指数。其中2005年以前的数据根据Bai、Hsieh和Qian的研究成果计算而来［18］（P86－88），2005年以后的数据来源于国家统计局和Indexmundi指数公司。用各年GDP平减指数把GDP转化为不变价格，用各年投资平减指数把投资转化为不变价格；用真实GDP减去真实资本折旧和真实投资得到消费。根据Bai、Hsieh和Qian的研究［18］（P86－88），本文也将资本折旧率定为10．5％～12．06％。（一）不同贴现率的值函数图1是在其他变量不变时，贴现因子分别取0．99、0．96和0．90时对应的值函数。图1（图略）的左图显示：当贴现因子为0．90时，效用介于70～100，并且从1978～2010年呈上升趋势。图1（图略）的中图显示：当贴现因子为0．96时，效用先是缓慢上升，接着剧烈波动直到最后稳健上升。图1（图略）的右图显示：当贴现因子为0．99时，效用在4 000～5 500之间，效用曲线先缓慢上升，然后剧烈波动，降到低点后趋向稳定。由此不难看出，贴现因子越大，值函数越大，一生消费总效用越高，这与本文第二部分数学推导的结果一致。从长期来看，贴现因子是外生的，因为它由国际资本市场决定，非单一国家能决定。 （二）贴现率为0．96时消费、投资和值函数的关系图2(图略)是1978～2010年中国消费、资本和值函数的关系。根据Dammon、Spatt和Zhang的研究［19］，将中国的贴现因子设为0．96。X轴为消费，Y轴为资本，Z轴为依据式（12）算出的值函数V。线上的33个点代表从1978年到2010年的33年。数据实验显示，效用函数呈现四个明显的阶段： 第一阶段是1978～1988年，这一时期资本年均增长率为10．2％，消费年均增长率为12．9％。值函数所代表的社会总效用大幅跃进，年均增长率达到1．5％，在1985年和1988年分别取得两次峰值。这一时期国民经济处于改革开放的起步阶段，经济活力得到释放，社会效用的提高主要来源于消费增长的贡献。这一结构特征同经济增长理论的预期一致，即当经济处于较低的发展阶段时，消费增长快于投资增长时，有利于社会效用增长。第二阶段是1989～1994年，这一时期资本年均增长率为12．7％，消费年均增长率为15．0％，值函数在1990年达到一个谷底之后快速回调，并且在1993年达到一个新的峰值，社会效用达到改革开放以来的最高水平。但是，由于受到1989～1990年连续两年的下降冲击，这一阶段值函数年均增长率下降为－0．1％。这一时期，资本和消费的增长结构基本同第一阶段，即消费增长快于资本增长。可见，整体的国民经济增长依然处于较低发展阶段，社会效用的增长依然得益于消费的贡献。第三阶段是1995～1999年，这一时期资本年均增长率下降为8．4％，消费年均增长率仅为1．1％。值函数基本处于持续下降过程，年均增长率为－1．8％，1999年水平大致相当于1990年水平。这一阶段资本和消费同时结束了改革开放以来两位数增长的过程，并且，资本和消费结构发生了逆转，即资本增长快于消费增长。
这一时期国民经济的恶化主要来源于两方面的影响：一方面，1994年发生了固定资产投资过热，因此在1995年中央采取了严格的紧缩政策，加上政策的一年滞后影响，使得资本增长在1994年和1995年保持一位数的低水平增长；另一方面，受到1997～1998年东南亚金融危机的影响，中国进出口受到很大影响。两方面影响的叠加使国民经济整体处于萎缩调整阶段，因此社会效用大幅下降。第四阶段是2000～2010年，这一阶段资本增长保持了快于消费增长的结构趋势，资本年均增长率为11．1％，消费年均增长率为9．1％。值函数年均增长率为0．07％，总体增长趋势平稳，但仍然低于过去时期的最好水平。由于2001年中国加入WTO，资本和消费得到了恢复性增长，社会效用再次回到上升路径。值得指出的是，2008年由于受到美国次贷危机的影响，投资和消费均为一位数增长，可见中央政府的4万亿刺激计划具有必要性，并且也取得了一定的正面效果。对比第一和第四两个上升路径，可见当经济处于较高发展阶段时，资本积累要大于消费，才能驱动值函数增长。这一结论也是符合理论预期的，在经济处于较高发展阶段时，社会效用的提高主要取决于产品质量的改进。对比加入WTO前后的增长路径，可以发现，加入WTO之前国民经济起伏剧烈，值函数振幅较大，是典型的粗放型增长；而加入WTO后，值函数振幅较小，表现出集约型增长的优化趋势。
结论
本文在资本产出弹性为单位弹性的假定下，基于动态规划的贝尔曼原理，建立了包含资本折旧率和贴现因子的最优消费模型，推导出消费效用最大化的值函数、策略函数、最优消费和资本累积序列，得出社会效用与消费－投资比成反比的一般性结论。通过值函数对贴现因子和折旧率求偏导，发现社会效用与贴现因子成正比、与折旧率成反比，这与前面的结论是一致的。通过对中国1978～2010年资本和消费数据的实证研究发现，理论模型的一般结论成立与否，受到经济所处发展阶段的系统性影响，即当经济处于较低水平的起飞阶段时，社会效用与消费－投资比正相关；而当经济处于较高的发展阶段时，社会效用则与消费－投资比负相关。中国在加入WTO后，经济发展开启了一个新的增长路径，较之以前的增长路径，新的增长路径表现出相对稳定的增长态势。但是，从值函数的数值可以看出，还未达到1978年改革开放以来的最好水平。可见经济增长模式还有较大的优化调整空间，政策取向可以考虑维持消费－投资结构大体平衡、投资略大于消费的基本结构，以保证社会效用获得可持续的增长路径；由于贴现因子与消费－投资比成反比、与社会效用成正比，应适当增加投资收益预期；由于折旧率与消费－投资比成反比、与社会效用成反比，同样应当增加社会的投资收益预期。
本文作者：彭凌 陈迅 单位：重庆大学 经济管理学院 美国 佛州佛罗里达大学 经济系