数学教育构建新概念方法

数学教育构建新概念方法

 

作为一线教师,几乎每天都面对“数学教学”.   那么,“数学教学”到底应该教学生学些什么?是一个不得不思考的问题.本文结合笔者的教学实践,谈一些想法,与同行交流,不当之处,敬请指正.   1教学生构建新概念的方法   怎样教学生“建构新概念、新方法”?不应是教师直接把概念、方法告诉学生,而是在教师的启发引导下,让学生质疑、发现、探究、归纳、判断、概括新概念,即教会学生自己去建构.案例l数系的扩充与复数的引入   1.1创设情境提出问题   【问题1】将10分成两部分,使两者的乘积等于40,这两部分分别是多少?   【师生活动】学生在解决问题的过程中发现了矛盾:在实数范围内无法解决此问题.教师启发引导:既然实数集不够用了,应怎么办?——必要性产生了.需要将实数集进行扩充,于是提出了本课要研究的问题.   1.2启发引导寻找方法   【问题2】以往的学习中有没有遇见过类似的问题?   【师生活动】教师启发引导:如果遇见过,解决了什么问题?怎样解决的?解决的过程有什么规律(共同的特点)?这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用?在教师的启发引导下,学生回忆起从自然数集——整数集——有理数集——实数集的扩充过程,并寻找解决问题的方法.   1.3回顾历程探究规则   【问题3】每次扩充解决了什么问题?怎么解决的?   【师生活动】学生总结:自然数集减法运算不够用,引进负数,扩充到整数集,使减法运算得以实施;整数集除法运算不够用,引进分数,扩充到有理数集,使除法运算得以实施;正数开方运算不够用,引进无理数,扩充到实数集,使正数开方运算得以实施.   【问题4】解决问题的规律是什么?   【师生活动】学生总结:原数集有某运算不能实施;引进新数(原数集包含于新数集);使运算能够进行;原有的运算及其性质在新数集仍然保持.   1.4引进新数建构概念   【问题5】数系扩充的规则对当前的问题有什么借鉴作用?   【师生活动】教师启发引导,师生达成共识,引进i2=一1,i称为“虚数单位”.复数的表示方法z=n+6i(n,6∈R),以及实部、虚部、复数集的概念及符号表示.师生就大家举出的复数例子,探讨复数的分类.   1.5结合例题探究复数相等   【例题】实数m取什么值时,复数2=m(m—1)+(m一1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?   【师生活动】学生解答问题.教师启发引导:由这三个等式,你能得出什么结论?两个复数什么情况下相等?从等号左右两边的复数相等,你能得出什么结论?要使两个复数相等需要满足什么条件?学生反思总结,给出复数相等的条件.   1.6回顾反思归纳小结   【问题6】通过本节课的学习,你有哪些收获?   【师生活动】在教师的启发引导下,学生归纳总结.在知识层面上的收获,如复数定义;复数分类;复数相等定义.同时,也总结出在方法层面上的收获,如怎样提出问题;怎样建构一个新概念等.   案例1的第一部分的教学,教师首先提出了卡尔丹问题.在解决时,学生发现在实数范围内无法解决.既然实数集不够用了,该怎么办?需要把实数集扩充.怎么想到的?人类解决问题的最本源的方法就是从已有方法中寻找未知方法;从已有知识中寻找未知知识;从已解决的问题中寻找新问题的解决方法.正足因为我们在前面有过扩充数集的经历,现在遇到了实数集范围内不能解决的问题,所以才想到了需要扩充数集.   接下来,在教师的启发引导下,学生回顾了数系的扩充过程,并总结出数系的扩充规则.为什么要总结数系的扩充规则?因为在解决如何引入复数时,它是要作为方法来使用的!这也正是教材把“数系的扩充”作为本节课内容的真正原因.到此完成了本节课的第一部分内容的教学.   这就是在教学生学“寻找解决新问题的方法”.如果把此部分的教学改为,上课伊始,就让学生回顾数系的扩充过程,然后再总结扩充的规则,学生就根本感受不到为什么要研究这些内容,只能被教师牵着鼻子走.虽然知识也能学会,但能力的培养就弱化了.   第二部分的教学,这些规则对当前的问题(问题1)有什么借鉴作用?——引进新数.怎样引进新数?引进什么样的新数?回到一开始的问题——~/一15不能表示为实数,卡尔丹称之为“怪物”.这样的“怪物”很多,最简单的是凡教师启发观察厅和/=万的共同点,学生发现厅=1×厅,v厂=两一~/15×~/一1,也就是说它们都可看成是实数x~/一1.需要引进~/一1作为新数,但负数开平方总难以接受,容易歧义,书写麻烦,数学追求简洁,越简单越好,于是用“i”表示厅,即厅=i或i2=一1,i称为“虚数单位”.前面出现的那些数就表示成:土i,土~/15i,5士~/15i,它们都称为“虚数”.通过观察这些数的特点,还能给出它们统一形式,即z=口+扼(口,6∈R).教师再介绍实部、虚部、复数集的概念及符号表示.结合大家举出的复数例子,探讨了复数的分类;结合课堂例题,探究了复数相等的定义.   至此,完成了复数定义的整个建构过程.这就是在教学生学“建构新概念、新方法”.在此教学中,我们可以看到复数的概念不是由教师直接给出的,而是在教师引导下,学生自己在解决问题的过程中,经过观察、比较、概括、抽象等思维活动,逐步概括得到的,这一过程与前人形成这个概念所经历的过程有某种一致性.任何新的概念都应从无到有地建立起来.从卡尔丹发现~/一15,到欧拉用新符号i表示~/一1有200多年,虽然我们不可能在一节课中走完200多年的历程,但我们可以尽可能的让学生经历概念建构的过程,从中也能感受到定义其中的合理性.#p#分页标题#e#   2教学生科学研究的方法   什么是“科学研究的方法”?——即首先提出问题,并提出解决问题的假设和猜想;其次,建立研究对象的理性模型;再次,设计或创造研究模型所需的工具,借助工具获得说明对象特点和规律的知识;最后,应用所获得的知识构建解决问题的理论和方法.   数学是一门科学,它的研究方法与其它科学的研究方法应该是相通的,尽管它的对象是抽象的形式化的思想材料,我们仍然可以借鉴实验科学的研究方法,只不过数学主要是进行头脑里的思想实验.数学教学除了要求学生掌握知识以外,还应该让学生掌握的就是“科学研究的一般方法”.因为掌握了一般方法,就可以利用它去学习任何知识.   案例2函数y=Asin(∞工+妒)的图象   2.1提出课题明确学习任务   【师生活动】教师启发引导,学生参与举例.师生讨论并提出本课研究的问题:y=Asin(∞z+p)的图象与y=si眦的图象之间的关系.   2.2启发引导制定研究策略【问题l】你打算如何研究y=Asin(叫z+妒)的图象与3,=sinz的图象之间的关系?   【师生活动】师生共同讨论,达成共识:   (1)对三个参数分解研究,采取先控制两个变量,变化另一个变量的方法.如,先控制A一1,∞=1,而对9选取不同的数据,观察分析y=sin(z+p)相对于y=si眦图象的变化,再控制其他变量,观察、分析,并归纳变化规律.   (2)只须在一个周期内研究图象的变化.   2.3实验操作发现规律(y=Asin(∞膏+9)图象的变化)   【问题2】利用图形计算器,选取数据,分别研究9,A,cc’对y=sin(z+9),y=Asinz、y=si蚴z的图象的影响.   【师生活动】学生4人一个小组,分工协作.选取不同的参数值,利用计算器作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=si舭的图象之间的关系.在图象动态的变换过程中,发现规律.在学生研究得出结论后,进行汇报展示研究成果.   2.4理性思考研讨结论   【问题3】为什么这两个函数图象之间有这样的关系?   【师生活动】教师启发:系数和图象有的变,有的没变.对于每种情况,哪个变,哪个不变?能不能根据这种“变和不变”的关系来分析?学生思考、分析,得出结论.   2.5回顾过程总结方法   【问题4】回顾问题的研究过程,能否说说研究此类问题的方法是什么?   【师生活动】教师启发引导,师生共同讨论.   2.6布置作业课后探究   【思考题】如果改变两个或三个参数,对图象又会有什么影响呢?请同学们课后思考,待下节课共同交流.   【作业】写出y=si舡分别经过怎样的变换得   到函数y=寺si吡、y=sin(z一})、y=sin3z的图象.在上述的教学过程中,是按照如下的线索进行教学的:环节一,提出本课要研究的问题,并提出猜想.通常提出问题的方式有两种,即由教师提出或由学生提出,本课是由学生提出的.本课的课题足“函数y=Asin(∞z+妒)的图象”,但是怎么想到要研究它与y=si吡图象之间的关系?这是我们首先要解决的问题.由于前面在画几个具体函数图象(y=sin(z+詈),y=2siIu,y—sin2z等)的时候,感觉到它们与,=si吡的图象之间有关系.而这些函数的一般化形式可写成y—Asin(们+9),自然会联想,例子是特殊的,特殊的具有关系,一般情况会怎样?是不是也会存在关系?从而自然地引出了本课要研究的问题,同时也提出了猜想(图象之间存在关系).   在此教学过程中,不但能让学生感觉到研究问题的必要性,同时也教会了学生如何提出问题.   环节二,既然打算要研究它们图象之间的关系,怎么研究?要制定研究的策略.现在我们面临的是含有三个参数的函数,应如何解决?我们人类思考问题的最根本方法就是将复杂问题简单化,所以我们需要分解研究.即先控制两个变量,研究一个,进而再控制一个变量,研究两个,最后研究三个变量.那么在控制两个变量,研究一个的时候,又如何给变量取值?比如,控制A和∞,研究够对图象的影响时,应给A和叫取什么样的值?当然是越简单越好!最好都是O,但是此时y=O,显然不合适,所以想到了都取1.那么,有必要在整个定义域内,研究图象的变化规律吗?因为是周期函数,所以只要在一个周期内研究就可以了.   就是在这样的师生共同探讨的过程中,教师教学生的是研究问题的方法,而不是一个单纯的结论.   环节三,借助工具得出结论并证明它.在此过程中,学生需要在众多图象中,观察出“动中之不变”的特征,归纳、概括出图象变化的规律,是对学生的观察、概括能力的考量.在与同伴的交流中,又可互相启发,互相学习;汇报过程中,积极主动;证明过程中,思维严谨.学生的主动性得以充分发挥.   当然,在这个过程中,教师的主导作用也是不可忽视的.比如,对学习提出明确的任务和要求,并加强探究过程的及时指导,对结论概括的规范化、科学化,等等,不可放任自流.在此教学过程中,教师教会了学生如何主动的学习.   环节四,应用结论解决问题,并给新问题的研究提供思路.通过布置作业和思考题,将所学知识巩固;通过回顾整个问题的研究过程,得到研究问题的一般思路,对今后研究新问题提供线索.本节课值得我们回顾反思的地方有很多,比如,(1)对于复杂问题进行分解研究;(2)从特殊到一般的方法;(3)在同一个周期内研究三角函数图象的变化;(4)体会“变中之不变”和“联想类比”的思想方法.#p#分页标题#e#   这就是教给学生科学研究的一般方法,而不是单单只教会学生本节课的内容.因为掌握了一般方法,就可以利用它去学习任何知识.   当然,在明确了教学生学什么之后,自然就涉及到教学生怎么学的问题.怎么学呢?用科学研究的一般方法去学.比如,要构建新概念和新方法,怎么建构?就要用一般的科学研究的方法来建构.教学生学习~般科学研究的方法,并不是一般意义上的“教”,而是引导学生在用的过程中学,也就是在用科学研究的一般方法建构新概念、新方法的过程中,学习一般科学研究的方法.这同“在游泳中学游泳”,“在做数学中学数学”是一个道理.这个过程同时就是在教学生怎么学了.   只有教师真正想清楚应该教给学生些什么,学生才会真正受益.